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    <title>抛物线</title>
    <meta charset="utf-8" />
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</head>
<body>

<h2>基本概念</h2>

<p class="definition">
	平面上到定直线和到定点距离相等的动点轨迹称为<b>抛物线 (parabola)</b>.
	这条定直线称为<b>准线 (directrix)</b>,
	这个定点称为<b>焦点 (focal point)</b>.
</p>

<div class="img md">
	<img src="../img/parabola-001.svg" />
</div>

<p class="remark">
	下文中如果没有用 "在空间中" 等字样加以说明,
	我们的问题总是限于一个平面内的.
</p>

<ol class="construction" id="con-intersection-with-line-1">
	已知焦点 `S` 与准线 `l`.
	<li>给定准线的任一垂线, 作出抛物线与它的交点;</li>
	<li>给定准线的任一平行线, 作出抛物线与它的交点.</li>
</ol>

<div class="flex">
	<div class="img md" id="gra-intersection-with-horizontal-line">
		<img src="../img/parabola-002.svg"/>
	</div>
	<div class="img md" id="gra-intersection-with-vertical-line">
		<img src="../img/parabola-003.svg"/>
	</div>
</div>

<ol class="solution">
	<li>(<a class="ref" href="#gra-intersection-with-horizontal-line"></a>)
		若直线 `PM` 垂直准线于 `M`,
		作 `SM` 的垂直平分线, 与 `PM` 交于 `P`.
		由于 `SM` 的垂直平分线是平面上满足 `PM = PS` 的点的轨迹,
		`P` 是它与 `PM` 的唯一交点, 所以 `P` 是抛物线与 `PM` 的唯一交点.
	</li>
	<li>(<a class="ref" href="#gra-intersection-with-vertical-line"></a>)
		若直线 `PP'` 与准线平行, 平行线间的距离为 `d`,
		取 `S` 到准线距离的中点 `A`, 由定义, `A` 在抛物线上.
		若 `A` 落在两平行线之间, 则以 `S` 为心, `d` 为半径作圆,
		与 `PP'` 相交于 `P` 和 `P'`.
		由于圆 `S` 是平面上满足 `PS = d` 的点 `P` 的轨迹,
		所以抛物线与 `PP` 的交点只有 `P,P'`.
		<br/>
		若 `A` 在两平行线同侧, 则直线 `PP'` 到 `S` 的距离大于 `d`,
		圆 `S` 与直线 `PP'` 无交点.
		这表示抛物线完全落在 `A` 远离准线的一侧.
	</li>
</ol>

<p class="definition">
	曲线上两点的连线称为<b>弦 (chord)</b>.
	称一条曲线<b>关于一直线对称</b>,
	如果对曲线上的任一点, 存在这曲线上的一点, 使这两点位于直线异侧,
	且连结它们的弦被这直线垂直平分.
	这条直线称为曲线的<b>对称轴</b>或<b>轴</b>,
	曲线与轴的交点叫做<b>顶点</b>.
</p>

<p class="corollary">
	过焦点且垂直于准线的直线是抛物线的对称轴.
	<!-- 唯一性 ? -->
	焦点到准线距离的中点是抛物线的顶点.
</p>

<p class="proof">
	(<a class="ref" href="#gra-intersection-with-vertical-line"></a>)
	作直线 `SX` 垂直准线于 `X`.
	`XS` 垂直于圆 `S` 的弦 `PP'`, 故 `PP'` 被直线 `XS` 垂直平分,
	即 `P` 与 `P'` 关于直线 `XS` 对称.
	再由<a class="ref" href="#con-intersection-with-line-1"></a>的2,
	`A` 是抛物线的顶点.
</p>

<p class="definition">
	抛物线上, 一点到焦点的连线叫做<b>焦半径</b>,
	通过焦点的弦叫做<b>焦点弦</b>.
</p>

<p class="definition">
	抛物线上一点到轴的垂线段叫做这个点的<b>纵标线</b>,
	这一点与它的对称点的连线叫<b>双纵标线</b>;
	特别, 通过焦点的双纵标线称为<b>正焦弦</b>.
	轴在顶点和纵标线之间的部分叫做<b>横标线</b>.
</p>

<p class="theorem">
	若 `S` 是抛物线的焦点, `A` 是抛物线的顶点, 纵标线 `PN` 与抛物线交于
	`N`, 则 `PN^2 = 4 AS * AN`; 特别 `N = S` 时, 得到正焦弦的一半
	`PN = 2 AS`.
</p>

<div class="img md">
	<img src="../img/parabola-004.svg"/>
</div>

<p class="proof">
	设抛物线的轴与准线的交点为 `X`. 连接 `PS`, 则
	<span class="formula">
		`PS = NX = AX + AN = AS + AN`,
	</span>
	且不论 `N` 在线段 `AS` 上, 还是在 `AS` 延长线上, 都有
	<span class="formula">
		`NS^2 = (AS - AN)^2`.
	</span>
	所以
	<span class="formula">
		` PN^2
		= PS^2 - NS^2
		= (AS + AN)^2 - (AS - AN)^2`
		`= 4 AS * AN`.
	</span>
</p>

<h2>抛物线的切线</h2>

<h3>切线基本性质和作法</h3>

<p class="definition">
	设 `PP'` 是曲线上的弦. 若存在过 `P` 的直线 `l`, 使得 `P'` 沿曲线趋于
	`P` 时, 直线 `PP'` 与 `l` 的夹角趋于 0, 则称 `l` 为曲线在 `P`
	点处的<b>切线</b>.
</p>

<p class="corollary">
	曲线上一点的切线若存在, 则必唯一.
</p>

<p class="lemma" id="lem-chord-bisector">
	(<a class="ref" href="#gra-chord-bisector"></a>)
	若 `S` 是抛物线的焦点, `PP'` 是焦点弦,
	`Q` 是抛物线上异于 `P, P'` 的一点, 弦 `PQ` 延长后交准线于 `K`.
	则 `SK` 平分 `triangle PQS` 的外角 `angle P'SQ`.
</p>

<div class="flex">
	<div class="img md" id="gra-chord-bisector">
		<img src="../img/parabola-005.svg"/>
	</div>
	<div class="img md" id="gra-tangent-bisector">
		<img src="../img/parabola-006.svg"/>
	</div>
</div>

<p class="proof">
	分别作 `P, Q` 到准线的垂线, 垂足为 `M, N`. 由三角形相似与抛物线定义得
	<span class="formula">
		`(KQ)/(KP) = (QN)/(PM) = (SQ)/(SP)`.
	</span>
	过 `P` 作直线 `SK` 的平行线, 与直线 `SQ` 交于 `R`, 则 `triangle PQR ~
	triangle KQS`, 有
	<span class="formula">
		`(KQ)/(KP) = (SQ)/(SR)`.
	</span>
	所以 `SP = SR`. 从而
	<span class="formula">
		` angle P'SK
		= angle SPR
		= angle SRP
		= angle QSK`.
	</span>
</p>

<ol class="theorem" id="the-tangent-bisector">
	(<a class="ref" href="#gra-tangent-bisector"></a>)
	设 `S` 是抛物线的焦点; `P` 是抛物线上异于顶点的一点,
	`PM` 垂直准线于 `M`;
	`K` 是准线上异于 `M` 的一点, 则下面各款等价:
	<li>`PK` 是抛物线的切线;</li>
	<li>`angle PSK` 是直角;</li>
	<li>`triangle SPK S= triangle MPK`;</li>
	<li>`PK` 平分 `angle SPM`.</li>
	由这条定理知道, `P` 点的法线 (切线的垂线) 平分 `angle SPM` 的补角,
	这条性质的一个应用是, 从抛物线的焦点出发的光线, 经过抛物线的反射,
	变成平行于轴的光线; 反之, 平行于轴的光线经抛物线反射汇聚于焦点.
</ol>

<p class="proof">
	在<a class="ref" href="#lem-chord-bisector"></a>中令
	`Q` 沿曲线趋于 `P`, 则 `angle PSQ` 趋于 0,
	`angle P'SQ` 趋于平角, `angle PSK` 就趋于直角.
	由此 1, 2 等价.
	<br/>
	由三角形全等的定理 (斜边, 直角边) 与 (两边一夹角) 容易证明余下的部分.
</p>

<p class="corollary">
	(由<a class="ref" href="#the-tangent-bisector"></a>的 4)
	抛物线顶点处的切线与准线平行.
</p>

<p class="corollary">
	(<a class="ref" href="#gra-chord-bisector"></a>)
	抛物线的切线与抛物线有唯一的公共点.
	否则可推出矛盾
	<span class="formula">
		`angle SPK lt angle SQK = angle NQK = angle MPK`.
	</span>
</p>

<p class="definition">
	称一点在抛物线<b>内侧</b>, 如果它到准线的距离大于到焦点的距离;
	称一点在抛物线<b>外侧</b>, 如果它到准线的距离小于到焦点的距离.
</p>

<p class="corollary" id="cor-tangent-iff-OM-eq-OS">
	(<a class="ref" href="#gra-tangent-given-point"></a>)
	设 `S` 是抛物线的焦点; `P` 是抛物线上的一点,
	`M` 是 `P` 在准线上的垂足; `O` 是抛物线外侧一点.
	则 `OP` 是抛物线的切线当且仅当
	`triangle OMP S= triangle OSP`,
	从而当且仅当 `OM = OS`.
</p>

<p class="proof">
	`rArr`:
	由<a class="ref" href="#the-tangent-bisector"></a>,
	`angle OPM = angle OPS`, 从而由两边一夹角,
	`triangle OMP S= triangle OSP`, 所以 `OM = OS`.
	<br/>
	`lArr`:
	利用三边相等, `triangle OMP S= triangle OSP`,
	从而 `PO` 平分 `angle SPM`.
	由<a class="ref" href="#the-tangent-bisector"></a>,
	`PO` 是 `P` 点处的切线.
	<br/>
	最后, 若 `O` 在抛物线内侧, 则 `OM` 大于等于 `O` 到准线的距离, 从而大于
	`OS`, 所以 `OP` 不可能是切线.
</p>

<ol class="construction" id="con-tangent">
	已知焦点 `S` 和准线 `l`, 作抛物线的切线.
	<li>要求切线过抛物线上一点 `P`;</li>
	<li>要求切线平行于指定方向 (不与准线垂直);</li>
	<li>要求切线过抛物线外一点 `O`.</li>
</ol>

<div class="flex">
	<div class="img md" id="gra-tangent-given-direction">
		<img src="../img/parabola-007.svg" />
	</div>
	<div class="img md" id="gra-tangent-given-point">
		<img src="../img/parabola-008.svg" />
	</div>
</div>

<ol class="solution">
	<li>(<a class="ref" href="#gra-tangent-bisector"></a>)
		作 `SK` 垂直 `PS`, 交准线于 `K`.
		由<a class="ref" href="#the-tangent-bisector"></a>, `KP` 是 `P` 点的切线.
	</li>
	<li>(<a class="ref" href="#gra-tangent-given-direction"></a>)
		作 `SM` 垂直于指定方向, 交准线于 `M`,
		作 `MP` 垂直于准线, 交 `SM` 的垂直平分线 `OP` 于 `P`.
		易证 `angle OPM = angle OPS`,
		由<a class="ref" href="#the-tangent-bisector"></a>, `OP` 是 `P` 点的切线.
	</li>
	<li>(<a class="ref" href="#gra-tangent-given-point"></a>)
		以 `O` 为心, `OS` 为半径作圆, 由于 `O` 在抛物线外侧,
		此圆将交准线于 `M, N` 两点.
		过 `M, N` 作准线的垂线, 分别与抛物线交于 `P, Q`
		(<a class="ref" href="#con-intersection-with-line-1"></a>).
		由<a class="ref" href="#cor-tangent-iff-OM-eq-OS"></a>,
		`OP`, `OQ` 是抛物线的切线.
	</li>
</ol>

<p class="example">
	<b>Adams 性质</b>
	设 `S` 是抛物线的焦点, `P` 是抛物线上一点, `O` 在过 `P` 点的切线上.
	作 `OI` 垂直准线于 `I`, `OU` 垂直焦半径 `SP` 于 `U`, 则 `OI = SU`.
</p>

<div class="img md">
	<img src="../img/parabola-009.svg" />
</div>

<p class="proof">
	作 `PM` 垂直准线于 `M`; 设 `PO` 交准线于 `K`, 连接 `SK`.
	由<a class="ref" href="#the-tangent-bisector"></a>,
	`OU` 平行于 `KS`.  由相似关系易得
	<span class="formula">
		`(OI)/(PM) = (OK)/(PK) = (SU)/(SP)`.
	</span>
	但 `PM = SP`, 于是 `OI = SU`.
</p>

<p class="example">
	抛物线焦点弦两端的切线相互垂直, 且交点在准线上.
</p>

<div class="img md">
	<img src="../img/parabola-010.svg" />
</div>

<p class="proof">
	设 `S` 是抛物线的焦点, `PQ` 是焦点弦; 直线 `PK` 切抛物线于点 `P`,
	交准线于 `K`.
	<br/>
	由<a class="ref" href="#the-tangent-bisector"></a>, `PQ _|_ SK`.
	再由<a class="ref" href="#the-tangent-bisector"></a>,
	`QK` 是抛物线的切线.
	这说明两切线的交点在准线上. 下证它们相互垂直.
	分别作 `PM, QN` 垂直准线于 `M,N`,
	由<a class="ref" href="#the-tangent-bisector"></a>,
	`triangle SPK S= triangle MPK`,
	于是 `angle PKS = 1/2 angle MKS`. 同理 `angle QKS = 1/2 angle NKS`,
	相加得 `angle PKQ = 1/2 angle MKN = pi/2`.
</p>

<h3>切线与法线</h3>

<p class="definition">
	设过曲线上一点的切线存在, 过这一点,
	且与切线垂直的直线称为曲线在该点的<b>法线</b>.
	法线如果存在, 也必定唯一.
</p>

<p class="definition">
	抛物线上一点的切线与纵标线在轴上所截的线段称为抛物线的<b>次切线</b>,
	抛物线上一点的法线与纵标线在轴上所截的线段称为抛物线的<b>次法线</b>.
</p>

<ol class="theorem" id="the-focal-is-midpoint">
	(<a class="ref" href="#gra-tangent-and-normal"></a>)
	设 `S` 是抛物线的焦点, `P` 是抛物线上异于顶点的一点.
	`P` 点的切线与轴交于 `T`, 法线与轴交于 `G`, 则
	<li>切线 `PT` 与轴的夹角等于与焦半径 `SP` 的夹角;</li>
	<li>`ST = SP = SG`.</li>
</ol>

<div class="flex">
	<div class="img md" id="gra-tangent-and-normal">
		<img src="../img/parabola-011.svg" />
	</div>
	<div class="img md" id="gra-mean-proportional">
		<img src="../img/parabola-012.svg" />
	</div>
</div>

<p class="proof">
	作 `PM` 垂直准线于 `M`,
   则由<a class="ref" href="#the-tangent-bisector"></a>,
	<span class="formula">
		`angle STP = angle MPT = angle SPT`.
	</span>
	所以 `ST = SP`; 再由 `PT _|_ PG` 容易证明 `angle SPG = angle
	SGP`, 所以 `SP = SG`.
</p>

<ol class="corollary" id="cor-TN-bisector">
	(<a class="ref" href="#gra-tangent-and-normal"></a>)
	<li>抛物线的次切线被顶点平分, 换言之, 次切线是横标线的两倍;</li>
	<li>抛物线的次法线等于焦点到准线的距离.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	设 `S` 是抛物线的焦点, `A` 是抛物线的顶点;
	`PT` 切抛物线于 `P`, 交轴于 `T`.
	<li>由<a class="ref" href="#the-focal-is-midpoint"></a>,
		`ST = SP = XN`. 而 `AS = AX`, 两边相减得 `AT = AN`.
	</li>
	<li>由<a class="ref" href="#the-focal-is-midpoint"></a>, `SG = SP = XN`. 两边同减 `SN` 得 `NG = XS`.
	</li>
</ol>

<p class="theorem" id="the-mean-proportional">
	设 `S` 是抛物线的焦点, `P, Q` 是抛物线上两点,
	过 `P, Q` 的切线交于点 `O`. 则 `triangle SPO ~ triangle SOQ`.
	换言之, `SO^2 = SP * SQ`.
</p>

<ol class="proof">
	<li>(<a class="ref" href="#gra-tangent-and-normal"></a>)
		先对顶点 `A` 和任意一点 `P` 证明定理成立.
		设 `P` 处的切线与轴交于 `T`, 与顶点 `A` 处的切线交于 `Y`.
		作 `P` 的纵标线 `PN`,
		由<a class="ref" href="#cor-TN-bisector"></a>, `A` 平分 `TN`.
		而 `YA` 平行于 `PN`, 故 `Y` 平分 `PT`.
		由<a class="ref" href="#the-focal-is-midpoint"></a>,
		`STP` 是等腰三角形, 故 `SY` 垂直 `PT`, `SY` 平分 `angle TSP`.
		易知 `triangle SAY ~ triangle SYP`.
	</li>
	<li>(<a class="ref" href="#gra-mean-proportional"></a>)
		现在证明一般情形.
		设顶点 `A` 处的切线与 `OP`, `OQ` 分别交于 `Y, Z`.
		由 1 的证明知 `SY _|_ OP`, `SZ _|_ OQ`,
		所以 `O, S, Y, Z` 四点共圆.
		利用同弧上的圆周角相等和 1 的证明, 有
		<span class="formula">
			` angle SOQ
			= angle SYZ
			= angle SPO`.
		</span>
		同理 `angle SOP = angle SQO`, 所以 `triangle SPO ~ triangle SOQ`.
	</li>
</ol>

<h2>抛物线的直径</h2>

<ol class="theorem" id="the-diameter">
	设抛物线的弦 `PQ` 两端的切线交于点 `O`, 过 `O` 作准线的垂线,
	交抛物线于 `A`, 交 `PQ` 于 `V`. 则
	<li>`V` 平分 `PQ`;</li>
	<li>`A` 点的切线是 `triangle OPQ` 的中位线, 故 `A` 点平分 `OV`;</li>
    <li>直线 `OV` 平分任意一条平行于 `PQ` 的弦.</li>
</ol>

<div class="img md" id="gra-diameter">
	<img src="../img/parabola-013.svg" />
</div>

<ol class="proof">
	<li>分别作 `PM, QN` 垂直准线于 `M,N`.
		由<a class="ref" href="#cor-tangent-iff-OM-eq-OS"></a>,
		`S, M, N` 落在以 `O` 为心的一个圆上, 因此 `OV` 平分 `MN`.
		因为 `OV` 与 `PM, PN` 都平行, 所以 `OV` 也平分 `PQ`.
	</li>
	<li>过 `A` 作抛物线的切线 `YZ`, 分别交 `OP`, `OQ` 于 `Y,Z`;
		过 `Y` 作 `YW` 平行于 `OV`.
		由 1 知 `W` 平分 `AP`, 所以 `Y` 平分 `OP`.
		同理 `Z` 平分 `OQ`, 所以 `YZ` 是 `triangle OPQ` 的中位线.
	</li>
    <li>设这条弦是 `P'Q'`. `OV` 交 `P'Q'` 于 `V'`, 与过 `P'` 的切线交于
        `O'`. 由 1, 直线 `YZ` 经过 `O'P'` 的中点, 且与 `P'Q'` 平行,
        因此 `A` 平分 `O'V'`; 又设 `Q'` 处的切线与 `OV` 交于 `O''`, 同理有
        `A` 平分 `O''V'`. 因此 `O'` 与 `O''` 重合. 现在由 1 知 `V'` 平分
        `P'Q'`.
    </li>
</ol>

<p class="construction" id="con-intersection-with-line-2">
	(<a class="ref" href="#gra-diameter"></a>)
	已知焦点和准线, 求抛物线与给定直线的公共点.
</p>

<p class="solution">
	若给定直线 `m` 与准线平行或垂直, 则按
	<a class="ref" href="#con-intersection-with-line-1"></a>
	的作法即可.
	否则, 作平行于 `m` 的切线
	(<a class="ref" href="#con-tangent"></a>),
	设切点为 `A`;
	过 `A` 作 `AV` 垂直于准线, 交 `m` 于 `V`;
	在直线 `AV` 上取 `O` 使得 `A` 是 `OV` 的中点.
	<!-- O 在抛物线外 ? -->
	过 `O` 作抛物线的两条切线
	(<a class="ref" href="#con-tangent"></a>),
	切点就是 `m` 与抛物线的公共点.
	<br/>
	事实上, 设切点是 `P,Q`, 由<a class="ref" href="#the-diameter"></a>,
	`A` 点的切线是 `triangle OPQ`
	的中位线, 所以 `PQ` 平行于 `m`, 又 `A` 是 `OV` 中点, 所以 `PQ` 与 `m`
	重合.
	<!-- 此处的证明有疑问 -->
</p>

<p class="construction" id="con-chord-given-direction">
	过抛物线上 (内) 的一点, 作弦平行于给定直线 (不与准线垂直).
</p>

<p class="solution">
	先过给定点作给定直线的平行线, 再确定该直线与抛物线的公共点.
</p>

<p class="definition">
	曲线的一组平行弦的中点轨迹叫做<b>直径</b>,
	这组平行弦的方向称为该直径的<b>共轭方向</b>.
</p>

<p class="theorem">
	(<a class="ref" href="#gra-diameter"></a>)
	抛物线的直径是一射线, 它与轴平行, 端点 `A` 在抛物线上,
	且过 `A` 的切线平行于共轭方向.
</p>

<ol class="proof">
	任取一个共轭方向, 设 `PQ` 是平行于该方向的任意一条弦,
    按<a class="ref" href="#the-diameter"></a>作出 `O, A, V` 三点,
    则 `A` 点的切线平行于共轭方向.
    下证射线 `AV` 是抛物线的直径. 证明分两步.
    <li>先证任意平行于 `PQ` 的弦的中点在射线 `AV` 上.
        设这条弦是 `BC`, `AV` 与 `BC` 交于 `D`.
        由<a class="ref" href="#the-diameter"></a>的 3, `D` 平分 `BC`.
    </li>
    <li>再证射线 `AV` 上的每一点都是某条平行于 `PQ` 的弦的中点.
        设 `D` 是射线 `AV` 上任一点, 过 `D` 作平行于 `PQ` 的弦 `BC`.
        同样有 `D` 平分 `BC`.
    </li>
</ol>

<p class="corollary">
	由于抛物线平行于给定方向的切线是唯一的, 所以直径唯一决定了共轭方向.
    从而直径与共轭方向是相互决定的.
</p>

<ul class="definition">
	设 `P` 是抛物线上的一点,
	任取一直径 `AV`, 在该直径的共轭方向上作弦 `PQ`
	(<a class="ref" href="#con-chord-given-direction"></a>),
	与直径交于 `V`.
	<li>称 `PV` 为 `P` <b>关于该共轭方向 (或关于该直径) 的纵标线</b>;</li>
	<li>称 `AV` 为 `P` <b>关于该共轭方向 (或关于该直径) 的横标线</b>;</li>
	<li>称 `PQ` 为 `P` (或 `Q`) <b>关于该共轭方向 (或关于该直径)
		的双纵标线</b>.
	</li>
</ul>

<ol class="theorem">
	设 `S` 是抛物线的焦点, `PV` 是直径 `AV` 的纵标线,
	`P` 处的切线交直线 `AV` 于 `O`, 交 `A` 处的切线于 `Y`, 则
	<li>`triangle SAY ~ triangle YAO`;</li>
	<li>`PV^2 = 4 AS * AV`.</li>
</ol>

<div class="img md">
	<img src="../img/parabola-014.svg" />
</div>

<ol class="proof">
	<li>由<a class="ref" href="#the-mean-proportional"></a>,
		`triangle SAY ~ triangle SYP`,
		于是由<a class="ref" href="#the-focal-is-midpoint"></a>
		<span class="formula">
			` angle SYA
			= angle SPY
			= angle YOA`.
		</span>
		另一方面, 由<a class="ref" href="#the-tangent-bisector"></a>,
		<span class="formula">
			` angle YAO = angle SAY`,
		</span>
		所以
		`triangle YAO ~ triangle SAY`.
	</li>
	<li>由 1,
		<span class="formula">
			` YA^2
			= AS * AO
			= AS * AV`,
		</span>
		两边同乘以 4 即得结论.
	</li>
</ol>

<script src="../../js/note.js?type=math"></script>
</body>
</html>
